ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УЧЕБНОГО КУРСА "МАТЕМАТИКА"
Предмет "Вероятность и статистика" является разделом курса "Математика". Рабочая
программа по предмету "Вероятность и статистика" для обучающихся 7-9 классов разработана на
основе Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования с
учѐтом и современных мировых требований, предъявляемых к математическому образованию, и
традиций российского образования, которые обеспечивают овладение ключевыми компетенциями,
составляющими основу для непрерывного образования и саморазвития, а также целостность
общекультурного, личностного и познавательного развития обучающихся. В программе учтены идеи
и положения Концепции развития математического образования в Российской Федерации. В эпоху
цифровой трансформации всех сфер человеческой деятельности невозможно стать образованным
современным человеком без базовой математической подготовки. Уже в школе математика служит
опорным предметом для изучения смежных дисциплин, а после школы реальной необходимостью
становится непрерывное образование, что требует полноценной базовой общеобразовательной
подготовки, в том числе и математической. Это обусловлено тем, что в наши дни растѐт число
профессий, связанных с непосредственным применением математики: и в сфере экономики, и в
бизнесе, и в технологических областях, и даже в гуманитарных сферах. Таким образом, круг
школьников, для которых математика может стать значимым предметом, расширяется.
Практическая полезность математики обусловлена тем, что еѐ предметом являются
фундаментальные структуры нашего мира: пространственные формы и количественные отношения
от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте, до достаточно сложных, необходимых для
развития научных и прикладных идей. Без конкретных математических знаний затруднено
понимание принципов устройства и использования современной техники, восприятие и
интерпретация разнообразной социальной, экономической, политической информации,
малоэффективна повседневная практическая деятельность. Каждому человеку в своей жизни
приходится выполнять расчѐты и составлять алгоритмы, находить и применять формулы, владеть
практическими приѐмами геометрических измерений и построений, читать информацию,
представленную в виде таблиц, диаграмм и графиков, жить в условиях неопределѐнности и понимать
вероятностный характер случайных событий.
Одновременно с расширением сфер применения математики в современном обществе всѐ
более важным становится математический стиль мышления, проявляющийся в определѐнных
умственных навыках. В процессе изучения математики в арсенал приѐмов и методов мышления
человека естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация,
анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты
математических умозаключений, правила их конструирования раскрывают механизм логических
построений, способствуют выработке умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения,
тем самым развивают логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике и в
формировании алгоритмической компоненты мышления и воспитании умений действовать по
заданным алгоритмам, совершенствовать известные и конструировать новые. В процессе решения
задач — основой учебной деятельности на уроках математики — развиваются также творческая и
прикладная стороны мышления.
Обучение математике даѐт возможность развивать у обучающихся точную, рациональную и
информативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые, символические,
графические средства для выражения суждений и наглядного их представления.
Необходимым компонентом общей культуры в современном толковании является общее
знакомство с методами познания действительности, представление о предмете и методах
математики, их отличий от методов других естественных и гуманитарных наук, об особенностях
применения математики для решения научных и прикладных задач. Таким образом, математическое
образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека.

Изучение математики также способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию
красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, усвоению
идеи симметрии.
ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
В современном цифровом мире вероятность и статистика при обретают всѐ большую
значимость, как с точки зрения практических приложений, так и их роли в образовании,
необходимом каждому человеку. Возрастает число профессий, при овладении которыми требуется
хорошая базовая подготовка в области вероятности и статистики, такая подготовка важна для
продолжения образования и для успешной профессиональной карьеры. Каждый человек постоянно
принимает решения на основе имеющихся у него данных. А для обоснованного принятия решения в
условиях недостатка или избытка информации необходимо в том числе хорошо сформированное
вероятностное и статистическое мышление.
Именно поэтому остро встала необходимость сформировать у обучающихся функциональную
грамотность, включающую в себя в качестве неотъемлемой составляющей умение воспринимать и
критически анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать
вероятностный характер многих реальных процессов и зависимостей, производить простейшие
вероятностные расчѐты. Знакомство с основными принципами сбора, анализа и представления
данных из различных сфер жизни общества и государства приобщает обучающихся к общественным
интересам. Изучение основ комбинаторики развивает навыки организации перебора и подсчѐта числа
вариантов, в том числе, в прикладных задачах. Знакомство с основами теории графов создаѐт
математический фундамент для формирования компетенций в области информатики и цифровых
технологий. Помимо этого, при изучении статистики и вероятности обогащаются представления
учащихся о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли
статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного
мышления.
В соответствии с данными целями в структуре программы учебного курса «Вероятность и
статистика» основной школы выделены следующие содержательно-методические линии:
«Представление данных и описательная статистика»; «Вероятность»; «Элементы комбинаторики»;
«Введение в теорию графов».
Содержание линии «Представление данных и описательная статистика» служит основой
для формирования навыков работы с информацией: от чтения и интерпретации информации,
представленной в таблицах, на диаграммах и графиках до сбора, представления и анализа данных с
использованием статистических характеристик средних и рассеивания. Работая с данными,
обучающиеся учатся считывать и интерпретировать данные, выдвигать, аргументировать и
критиковать простейшие гипотезы, размышлять над факторами, вызывающими изменчивость, и
оценивать их влияние на рассматриваемые величины и процессы.
Интуитивное представление о случайной изменчивости, исследование закономерностей и
тенденций становится мотивирующей основой для изучения теории вероятностей. Большое значение
здесь имеют практические задания, в частности опыты с классическими вероятностными моделями.
Понятие вероятности вводится как мера правдоподобия случайного события. При
изучении курса обучающиеся знакомятся с простейшими методами вычисления вероятностей в
случайных экспериментах с равновозможными элементарными исходами, вероятностными законами,
позволяющими ставить и решать более сложные задачи. В курс входят начальные представления о
случайных величинах и их числовых характеристиках.
Также в рамках этого курса осуществляется знакомство обучающихся с множествами и
основными операциями над множествами, рассматриваются примеры применения для решения
задач, а также использования в других математических курсах и учебных предметах.

МЕСТО УЧЕБНОГО КУРСА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
В 7 классе изучается курс «Вероятность и статистика», в который входят разделы:
«Представление данных»; «Описательная статистика»; «Случайная изменчивость»; «Графы»;
«Логические утверждения и высказывания»; «Случайные опыты и случайные события».
В 8 классе изучается курс «Вероятность и статистика», в который входят разделы:
«Множества»; «Математическое описание случайных явлений»; «Рассеивание данных»; «Деревья»;
«Математические рассуждения»; «Операции над случайными событиями»; «Условная вероятность и
независимые события».
В 9 классе изучается курс «Вероятность и статистика», в который входят разделы: «Элементы
комбинаторики»; "Геометрическая вероятность"; «Испытания Бернулли»; "Случайные величины".
На изучение курса «Вероятность и статистика» в 7—9 классах отводится 1 учебный час в неделю в
течение каждого года обучения, всего 102 учебных часа.
Учебное издание: математика «Вероятность и статистика»: 7-9-е классы: базовый уровень: учебник: в
2 частях; Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под ред. Ященко И.В., АО "Издательство "Просвещение",
2023.
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА "ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА"
7 КЛАСС










Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Заполнение таблиц, чтение и
построение диаграмм (столбиковых (столбчатых) и круговых). Чтение графиков реальных
процессов. Извлечение информации из диаграмм и таблиц, использование и интерпретация
данных.
Описательная статистика: среднее арифметическое, медиана, размах, наибольшее и
наименьшее значения набора числовых данных. Примеры случайной изменчивости.
Случайная изменчивость. Точность и погрешность измерений. Тенденции и случайные
отклонения. Частоты знанчений в массивах данных. Группировка данных и гистограммы.
Выборка.
Граф, вершина, ребро. Степень вершины. Число рѐбер и суммарная степень вершин.
Представление о связности графа. Цепи и циклы. Пути в графах. Обход графа (эйлеров путь).
Представление об ориентированном графе. Решение задач с помощью графов.
Логические утверждения и высказывания. Отрицание. Условные утверждения. Обратные и
равносильные утверждения. Признаки и свойства. Противоположные утверждения.
Случайный эксперимент (опыт) и случайное событие. Вероятность и частота. Роль
маловероятных и практически достоверных событий в природе и в обществе. Монета и
игральная кость в теории вероятностей.

8 КЛАСС







Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Множество, элемент множества,
подмножество. Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение. Свойства
операций над множествами: переместительное, сочетательное, распределительное,
включения. Использование графического представления множеств для описания реальных
процессов и явлений, при решении задач.
Измерение рассеивания данных. Дисперсия и стандартное отклонение числовых наборов.
Диаграмма рассеивания.
Элементарные события случайного опыта. Случайные события. Вероятности событий. Опыты
с равновозможными элементарными событиями. Случайный выбор. Связь между
маловероятными и практически достоверными событиями в природе, обществе и науке.
Дерево. Свойства деревьев: единственность пути, существование висячей вершины, связь
между числом вершин и числом рѐбер. Правило умножения. Решение задач с помощью
графов.



Противоположные события. Диаграмма Эйлера. Объединение и пересечение событий.
Несовместные события. Формула сложения вероятностей. Условная вероятность. Правило
умножения. Независимые события. Представление эксперимента в виде дерева. Решение задач
на нахождение вероятностей с помощью дерева случайного эксперимента, диаграмм Эйлера.

9 КЛАСС








Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков, интерпретация данных. Чтение и
построение таблиц, диаграмм, графиков по реальным данным.
Перестановки и факториал. Сочетания и число сочетаний. Треугольник Паскаля. Решение
задач с использованием комбинаторики.
Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка и из
дуги окружности.
Испытание. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха. Серия испытаний
Бернулли. Вероятности событий в серии испытаний Бернулли.
Случайная величина и распределение вероятностей. Математическое ожидание и дисперсия.
Примеры математического ожидания как теоретического среднего значения величины.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины «число успехов в серии
испытаний Бернулли».
Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей с помощью частот. Роль и
значение закона больших чисел в природе и обществе.

ПЛАНИРУЕМЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Освоение учебного предмета «Вероятность и статистика», как раздела курса "Математики" должно
обеспечивать достижение на уровне основного общего образования следующих личностных,
метапредметных и предметных образовательных результатов:
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные результаты освоения программы учебного предмета «Вероятность и статистика»
характеризуются:
Патриотическое воспитание: проявлением интереса к прошлому и настоящему российской
математики, ценностным отношением к достижениям российских математиков и российской
математической школы, к использованию этих достижений в других науках и прикладных сферах.
Гражданское и духовно-нравственное воспитание: готовностью к выполнению обязанностей
гражданина и реализации его прав, представлением о математических основах функционирования
различных структур, явлений, процедур гражданского общества (выборы, опросы и пр.);
готовностью к обсуждению этических проблем, связанных с практическим применением достижений
науки, осознанием важности морально-этических принципов в деятельности учѐного.
Трудовое воспитание: установкой на активное участие в решении практических задач
математической направленности, осознанием важности математического образования на протяжении
всей жизни для успешной профессиональной деятельности и развитием необходимых умений;
осознанным выбором и построением индивидуальной траектории образования и жизненных планов с
учѐтом личных интересов и общественных потребностей.
Эстетическое воспитание: способностью к эмоциональному и эстетическому восприятию
математических объектов, задач, решений, рассуждений; умению видеть математические
закономерности в искусстве.

Ценности научного познания: ориентацией в деятельности на современную систему научных
представлений об основных закономерностях развития человека, природы и общества, пониманием
математической науки как сферы человеческой деятельности, этапов еѐ развития и значимости для
развития цивилизации; овладением языком математики и математической культурой как средством
познания мира; овладением простейшими навыками исследовательской деятельности.
Физическое воспитание, формирование культуры здоровья и эмоционального благополучия:
готовностью применять математические знания в интересах своего здоровья, ведения здорового
образа жизни (здоровое питание, сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая
активность); сформированностью навыка рефлексии, признанием своего права на ошибку и такого
же права другого человека.
Экологическое воспитание: ориентацией на применение математических знаний для решения задач
в области сохранности окружающей среды, планирования поступков и оценки их возможных
последствий для окружающей среды; осознанием глобального характера экологических проблем и
путей их решения.
Личностные результаты, обеспечивающие адаптацию обучающегося к изменяющимся
условиям социальной и природной среды:
 готовностью к действиям в условиях неопределѐнности, повышению уровня своей компетентности
через практическую деятельность, в том числе умение учиться у других людей, приобретать в
совместной деятельности новые знания, навыки и компетенции из опыта других;
 необходимостью в формировании новых знаний, в том числе формулировать идеи, понятия,
гипотезы об объектах и явлениях, в том числе ранее не известных, осознавать дефициты собственных
знаний и компетентностей, планировать своѐ развитие;
 способностью осознавать стрессовую ситуацию, воспринимать стрессовую ситуацию как вызов,
требующий контрмер, корректировать принимаемые решения и действия, формулировать и
оценивать риски и последствия, формировать опыт.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Метапредметные результаты освоения программы учебного предмета «Вероятность и статистика»
характеризуются овладением универсальными познавательными действиями, универсальными
коммуникативными действиями и универсальными регулятивными действиями.
1) Универсальные познавательные действия обеспечивают формирование базовых когнитивных
процессов обучающихся (освоение методов познания окружающего мира; применение логических,
исследовательских операций, умений работать с информацией).
Базовые логические действия:
 выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов, понятий,
отношений между понятиями; формулировать определения понятий; устанавливать существенный
признак классификации, основания для обобщения и сравнения, критерии проводимого анализа;
 воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и отрицательные,
единичные, частные и общие; условные;
 выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах, данных,
наблюдениях и утверждениях; предлагать критерии для выявления закономерностей и противоречий;
 делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных умозаключений,
умозаключений по аналогии;

 разбирать доказательства математических утверждений (прямые и от противного), проводить
самостоятельно несложные доказательства математических фактов, выстраивать аргументацию,
приводить примеры и контрпримеры; обосновывать собственные рассуждения;
 выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов решения, выбирать
наиболее подходящий с учѐтом самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
 использовать вопросы как исследовательский инструмент познания; формулировать вопросы,
фиксирующие противоречие, проблему, самостоятельно устанавливать искомое и данное,
формировать гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;
 проводить по самостоятельно составленному плану несложный эксперимент, небольшое
исследование по установлению особенностей математического объекта, зависимостей объектов
между собой;
 самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведѐнного наблюдения,
исследования, оценивать достоверность полученных результатов, выводов и обобщений;
 прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать предположения о его развитии в
новых условиях.
Работа с информацией:
 выявлять недостаточность и избыточность информации, данных, необходимых для решения задачи;
 выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать информацию различных видов и
форм представления;
 выбирать форму представления информации и иллюстрировать решаемые задачи схемами,
диаграммами, иной графикой и их комбинациями;
 оценивать надѐжность информации
сформулированным самостоятельно.

по

критериям,

предложенным

учителем

или

2) Универсальные коммуникативные действия обеспечивают сформированность социальных
навыков обучающихся.
Общение:
 воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями общения; ясно,
точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и письменных текстах, давать пояснения по
ходу решения задачи, комментировать полученный результат;
 в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы, решаемой задачи,
высказывать идеи, нацеленные на поиск решения; сопоставлять свои суждения с суждениями других
участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций; в корректной форме
формулировать разногласия, свои возражения;
 представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта; самостоятельно
выбирать формат выступления с учѐтом задач презентации и особенностей аудитории.
Сотрудничество:
 понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при решении
учебных математических задач;

 принимать цель совместной деятельности, планировать организацию совместной работы,
распределять виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы; обобщать мнения
нескольких людей;
 участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнениями, мозговые штурмы и др.);
 выполнять свою часть работы и координировать свои действия с другими членами команды;
 оценивать качество своего вклада в общий продукт по критериям, сформулированным участниками
взаимодействия.
3) Универсальные регулятивные действия обеспечивают формирование смысловых установок и
жизненных навыков личности.
Самоорганизация:
самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи (или его часть), выбирать способ решения
с учѐтом имеющихся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать и корректировать
варианты решений с учѐтом новой информации.
Самоконтроль:
 владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения математической
задачи;
 предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить коррективы в
деятельность на основе новых обстоятельств, найденных ошибок, выявленных трудностей;
 оценивать соответствие результата деятельности поставленной цели и условиям, объяснять
причины достижения или не достижения цели, находить ошибку, давать оценку приобретѐнному
опыту.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Предметные результаты освоения курса «Вероятность и статистика» характеризуются следующими
умениями.
7 КЛАСС






Читать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах;
Представлять данные в виде таблиц, строить диаграммы (столбиковые (столбчатые) и
круговые) по массивам значений.
Описывать и интерпретировать реальные числовые данные, представленные в
таблицах, на диаграммах, графиках.
Использовать для описания данных статистические характеристики: среднее
арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах.
Иметь представление о случайной изменчивости на примерах цен, физических
величин, антропометрических данных; иметь представление о статистической
устойчивости.

8 КЛАСС




Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм,
графиков; представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков.
Описывать данные с помощью статистических показателей: средних значений и мер
рассеивания (размах, дисперсия и стандартное отклонение).
Находить частоты числовых значений и частоты событий, в том числе по результатам
измерений и наблюдений.







Находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности элементарных
событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями.
Использовать графические модели: дерево случайного эксперимента, диаграммы
Эйлера, числовая прямая.
Оперировать понятиями: множество, подмножество; выполнять операции над
множествами: объединение, пересечение, дополнение; перечислять элементы
множеств; применять свойства множеств.
Использовать графическое представление множеств и связей между ними для описания
процессов и явлений, в том числе при решении задач из других учебных предметов и
курсов.

9 КЛАСС










Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в различных источниках в
виде таблиц, диаграмм, графиков; представлять данные в виде таблиц, диаграмм,
графиков.
Решать задачи организованным перебором вариантов, а также с использованием
комбинаторных правил и методов.
Использовать описательные характеристики для массивов числовых данных, в том
числе средние значения и меры рассеивания.
Находить частоты значений и частоты события, в том числе пользуясь результатами
проведѐнных измерений и наблюдений.
Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том числе в опытах с
равновозможными элементарными событиями, в сериях испытаний до первого успеха,
в сериях испытаний Бернулли.
Иметь представление о случайной величине и о распределении вероятностей.
Иметь представление о законе больших чисел как о проявлении закономерности в
случайной изменчивости и о роли закона больших чисел в природе и обществе.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА
7 КЛАСС(34 часа)
Название раздела (темы)
Представление данных (6ч)

Основное содержание
Представление данных в таблицах.
Практические вычисления по табличным
данным. Извлечение и интерпретация
табличных данных.
Практическая работа «Таблицы».
Графическое представление данных в виде
круговых,
столбиковых
(столбчатых)
диаграмм. Чтение и построение диаграмм.
Примеры демографических диаграмм.
Практическая работа «Диаграммы»
наборы.
Среднее
статистика Числовые
арифметическое.
Медиана
числового
набора. Устойчивость медианы.
Практическая работа «Средние значения».
Наибольшее и наименьшее значения
числового набора. Размах

Характеристика деятельности обучающихся
Осваивать способы представления статистических
данных и числовых массивов с помощью таблиц и
диаграмм с использованием актуальных и важных
данных (демографические данные, производство
промышленной и сельскохозяйственной продукции,
общественные и природные явления).
Изучать методы работы с табличными и графическими
представлениями данных с помощью цифровых
ресурсов в ходе практических работ

Описательная
(7ч)

Осваивать понятия: числовой набор, мера центральной
тенденции (мера центра), в том числе среднее
арифметическое, медиана. Описывать статистические
данные с помощью среднего арифметического и
медианы. Решать задачи. Изучать свойства средних, в
том числе с помощью цифровых ресурсов, в ходе
практических работ. Осваивать понятия: наибольшее и
наименьшее значения числового массива, размах.
Решать задачи на выбор способа описания данных в
соответствии с природой данных и целями исследования
Осваивать понятия: частота значений в массиве данных,
группировка данных, гистограмма.
Строить и анализировать гистограммы, подбирать
подходящий шаг группировки. Осваивать графические
представления разных видов случайной изменчивости, в
том числе с помощью цифровых ресурсов, в ходе
практической работы
Осваивать понятия: граф, вершина графа, ребро графа,
степень (валентность вершины), цепь и цикл, путь в
графе, эйлеров путь, обход графа, ориентированный
граф.
Решать задачи на поиск суммы степеней вершин графа,
на поиск обхода графа, на поиск путей в
ориентированных
графах.
Осваивать
способы
представления задач из курса алгебры, геометрии,

Случайная
(6ч)

изменчивость
(примеры).
изменчивость Случайная
Частота значений в массиве данных.
Группировка. Гистограммы.
Практическая
работа
«Случайная
изменчивость»

Графы (3ч)

Граф, вершина, ребро. Представление
задачи с помощью графа. Степень
(валентность) вершины. Число рёбер и
суммарная степень вершин. Цепь и цикл.
Путь в графе. Представление о связности
графа. Обход графа (эйлеров путь).
Представление
об
ориентированных
графах

Логические утверждения и Утверждения и высказывания. Отрицание.
Условные утверждения. Обратные и
высказывания (4ч)
равносильные утверждения. Признаки и
свойства. Необходимые и достаточные
условия.

Случайные
опыты
случайные события (4ч)

Обобщение, контроль (4ч)

и Случайный опыт и случайное событие.
Вероятность и частота события. Роль
маловероятных
и
практически
достоверных событий в природе и в
обществе. Монета и игральная кость в
теории вероятностей. Практическая работа
«Частота выпадения орла»

Представление данных. Описательная
статистика.
Вероятность
случайного
события

теории вероятностей, других предметов с помощью
графов
(карты,
схемы,
электрические
цепи,
функциональные соответствия) на примерах
Осваивать понятия: высказывание, контрпример,
отрицание, условное утверждение, равносильное,
достаточное и необходимое условия.
Решать задачи на определение истинности или ложности
утверждений, на построение отрицания утверждения.
Осваивать способы решения задач с помощью
построения утверждения, обратного данному.
Осваивать понятия: случайный опыт и случайное
событие, маловероятное и практически достоверное
событие.
Изучать значимость маловероятных событий в природе и
обществе на важных примерах (аварии, несчастные
случаи, защита персональной информации, передача
данных). Изучать роль классических вероятностных
моделей (монета, игральная кость) в теории
вероятностей.
Наблюдать и изучать частоту событий в простых
экспериментах, в том числе с помощью цифровых
ресурсов, в ходе практической работы
Повторять изученное и выстраивать систему знаний.
Решать задачи на представление и описание данных с
помощью
изученных
характеристик.
Обсуждать
примеры случайных событий, маловероятных и
практически достоверных случайных событий, их роли в
природе и жизни человека

8 КЛАСС (34 часа)
Название раздела (темы)
Повторение курса 7 класса (3ч)

Основное содержание
Представление
данных.
Описательная
статистика.
Случайная
изменчивость.
Средние числового набора. Случайные
события.
Вероятности
и
частоты.
Классические модели теории вероятностей:

Характеристика деятельности
обучающихся
Повторять изученное и выстраивать систему
знаний. Решать задачи на представление и
описание данных с помощью изученных
характеристик.
Решать
задачи
на
представление группированных данных и

монета и игральная кость

Множества (5ч)

Множество, подмножество. Операции над
множествами: объединение, пересечение,
дополнение.
Свойства
операций
над
множествами:
переместительное,
сочетательное,
распределительное,
включения.
Графическое
представление
множеств

Математическое
случайных явлений (5ч)

описание Элементарные события. Случайные события.
Благоприятствующие элементарные события.
Вероятности
событий.
Опыты
с
равновозможными
элементарными
событиями. Случайный выбор.
Практическая
работа
«Опыты
с
равновозможными
элементарными
событиями»

Рассеивание данных (4ч)

Отклонения. Дисперсия числового набора.
Стандартное отклонение числового набора.
Диаграммы рассеивания

описание случайной изменчивости. Решать
задачи на определение частоты случайных
событий, обсуждение примеров случайных
событий, маловероятных и практически
достоверных случайных событий, их роли в
природе и жизни человека
Осваивать понятия: множество, элемент
множества,
подмножество.
Выполнять
операции над множествами: объединение,
пересечение,
дополнение.
Использовать
свойства: переместительное, сочетательное,
распределительное, включения. Использовать
графическое представление множеств при
описании реальных процессов и явлений, при
решении задач из других учебных предметов
и курсов
Осваивать понятия: элементарное событие,
случайное
событие
как
совокупность
благоприятствующих элементарных событий,
равновозможные элементарные события.
Решать задачи на вычисление вероятностей
событий по вероятностям элементарных
событий случайного опыта. Решать задачи на
вычисление вероятностей событий в опытах с
равновозможными
элементарными
событиями, в том числе с помощью
компьютера. Проводить и изучать опыты с
равновозможными
элементарными
событиями
(с
использованием
монет,
игральных костей, других моделей) в ходе
практической работы
Осваивать понятия: дисперсия и стандартное
отклонение, использовать эти характеристики
для
описания
рассеивания
данных.
Выдвигать гипотезы об отсутствии или
наличии связи по диаграммам рассеивания.
Строить
диаграммы
рассеивания
по
имеющимся данным, в том числе с помощью
компьютера

Деревья (3ч)

Дерево. Свойства дерева: единственность
пути, существование висячей вершины, связь
между числом вершин и числом рёбер.
Дерево случайного эксперимента

Математические рассуждения (3ч)

Логические союзы «и» и «или». Отрицание
сложных утверждений.

Операции
над
событиями (4ч)

событие.
Диаграмма
случайными Противоположное
Эйлера. Объединение и пересечение событий.
Несовместные события. Формула сложения
вероятностей.

Условная
вероятность
независимые события (4ч)

и Условная вероятность. Правило умножения
вероятностей. Дерево случайного опыта.
Независимые события.

Осваивать понятия: дерево как граф без
цикла, висячая вершина (лист), ветвь дерева,
путь в дереве, диаметр дерева.
Изучать свойства дерева: существование
висячей вершины, единственность пути
между двумя вершинами, связь между
числом вершин и числом рёбер.
Решать задачи на поиск и перечисление
путей в дереве, определение числа вершин
или рёбер в дереве, построение дерева
случайного эксперимента
Осваивать понятия: сложные утверждения,
логические союзы, отрицание утверждений.
Решать задачи об истинности утверждений с
использованием союзов «и» и «или».
Осваивать понятия: противоположные и
взаимно
противоположные
события,
операции над событиями, объединение и
пересечение событий, диаграмма Эйлера,
несовместные события. Изучать правила
сложения вероятностей.
Решать задачи, в том числе текстовые задачи,
на определение вероятностей объединения и
пересечения
событий
с
помощью
координатной прямой, диаграмм Эйлера,
формулы сложения вероятностей.
Изучать свойства (определения)
Осваивать понятия: условная вероятность,
дерево случайного опыта, независимые
события.
Изучать правило умножения вероятностей,
формулу условной вероятности, правило
нахождения вероятности события с помощью
дерева случайного опыта.
Решать задачи на определение условной
вероятности события, вычислять вероятности
цепочек, пользуясь деревом и правилом
умножения вероятностей. Изображать дерево
данного эксперимента.

Обобщение, контроль (3ч)

Изучать правила и определения.
Представление
данных.
Описательная Повторять изученное и выстраивать систему
статистика. Графы. Вероятность случайного знаний. Решать задачи на представление и
события.
описание данных с помощью изученных
характеристик. Решать задачи с применением
графов. Решать задачи на нахождение
вероятности
случайного
события
по
вероятностям элементарных событий, в том
числе в опытах с равновозможными
элементарными событиями. Решать задачи на
нахождение вероятностей объединения и
пересечения
событий,
в
том
числе
независимых, с использованием графических
представлений и дерева случайного опыта.
Решать задачи на перечисление комбинаций
(числа перестановок, числа сочетаний), на
нахождение
вероятностей
событий
с
применением комбинаторики, в том числе с
использованием треугольника Паскаля

9 КЛАСС (34 часа)
Название раздела (темы)

Основное содержание

Повторение курса 8 класса (4ч)

Представление
данных.
Описательная
статистика. Операции над событиями.
Независимость событий

Элементы комбинаторики (6ч)

Комбинаторное
правило
умножения.
Перестановки. Факториал. Сочетания и число
сочетаний.
Треугольник
Паскаля.
Практическая
работа
«Вычисление
вероятностей
с
использованием
комбинаторных
функций
электронных
таблиц»

Характеристика деятельности
обучающихся
Повторять изученное и выстраивать систему
знаний. Решать задачи на представление и
описание данных. Решать задачи на
нахождение вероятностей объединения и
пересечения
событий,
в
том
числе
независимых, с использованием графических
представлений и дерева случайного опыта.
Осваивать понятия: комбинаторное правило
умножения, упорядоченная пара, тройка
объектов, перестановка, факториал числа,
сочетание, число сочетаний, треугольник
Паскаля. Решать задачи на перечисление
упорядоченных пар, троек, перечисление
перестановок
и
сочетаний
элементов

Геометрическая вероятность (4ч)

Геометрическая вероятность. Случайный
выбор точки из фигуры на плоскости, из
отрезка, из дуги окружности

Испытания Бернулли (6ч)

Испытание. Успех и неудача. Серия
испытаний до первого успеха. Испытания
Бернулли. Вероятности событий в серии
испытаний Бернулли.
Практическая работа «Испытания Бернулли»

Случайная величина (7ч)

Случайная величина и распределение
вероятностей. Математическое ожидание и
дисперсия случайной величины. Примеры
математического
ожидания
как
теоретического среднего значения величины.
Понятие о законе больших чисел. Измерение
вероятностей с помощью частот. Применение
закона больших чисел

различных множеств. Решать задачи на
применение числа сочетаний в алгебре
(сокращённое умножение, бином Ньютона).
Решать, применяя комбинаторику, задачи на
вычисление вероятностей, в том числе с
помощью электронных таблиц в ходе
практической работы
Осваивать
понятие
геометрической
вероятности. Решать задачи на нахождение
вероятностей в опытах, представимых как
выбор точек из многоугольника, круга,
отрезка или дуги окружности, числового
промежутка
Осваивать понятия: испытание, элементарное
событие в испытании (успех и неудача),
серия испытаний, наступление первого
успеха (неудачи), серия испытаний Бернулли.
Решать задачи на нахождение вероятностей
событий в серии испытаний до первого
успеха, в том числе с применением формулы
суммы геометрической прогрессии. Решать
задачи
на
нахождение
вероятностей
элементарных событий в серии испытаний
Бернулли, на нахождение вероятности
определённого числа успехов в серии
испытаний Бернулли. Изучать в ходе
практической работы, в том числе с помощью
цифровых ресурсов, свойства вероятности в
серии испытаний Бернулли
Освоить понятия: случайная величина,
значение
случайной
величины,
распределение вероятностей. Изучать и
обсуждать
примеры
дискретных
и
непрерывных случайных величин (рост, вес
человека, численность населения, другие
изменчивые
величины,
которые
рассматривались в курсе статистики),
модельных случайных величин, связанных со
случайными опытами (бросание монеты,

Обобщение, контроль (9ч)

игральной кости, со случайным выбором и т.
п.). Осваивать понятия: математическое
ожидание
случайной
величины
как
теоретическое среднее значение, дисперсия
случайной величины как аналог дисперсии
числового набора. Решать задачи на
вычисление математического ожидания и
дисперсии дискретной случайной величины
по заданному распределению, в том числе
задач, связанных со страхованием и
лотереями. Знакомиться с математическим
ожиданием
и
дисперсией
некоторых
распределений, в том числе распределения
случайной величины «число успехов» в
серии испытаний Бернулли. Изучать частоту
события в повторяющихся случайных опытах
как случайную величину. Знакомиться с
законом больших чисел (в форме Бернулли):
при большом числе опытов частота события
близка к его вероятности. Решать задачи на
измерение вероятностей с помощью частот.
Обсуждать роль закона больших чисел в
обосновании частотного метода измерения
вероятностей. Обсуждать закон больших
чисел как проявление статистической
устойчивости в изменчивых явлениях, роль
закона больших чисел в природе и в жизни
человека
Представление
данных.
Описательная Повторять изученное и выстраивать систему
статистика. Вероятность случайного события. знаний. Решать задачи на представление и
Элементы
комбинаторики.
Случайные описание данных. Решать задачи на
величины и распределения
нахождение вероятностей событий, в том
числе в опытах с равновозможными
элементарными событиями, вероятностей
объединения
и
пересечения
событий,
вычислять вероятности в опытах с сериями
случайных испытаний

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧЕНИКА
Математика. Вероятность и статистика: 7-9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2частях, 7-9 классы/ Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под
ред. Ященко И.В., Акционерное общество «Издательство «Просвещение» 2023 г.
МЕТОДИЧЕСКИЕМАТЕРИАЛЫДЛЯУЧИТЕЛЯ
Универсальный многоуровневый сборник задач. 7 – 9 классы. Статистика. Вероятность. Комбинаторика. Практические задачи
И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий 2023 г.
ЦИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ И РЕСУРСЫ СЕТИ ИНТЕРНЕТ
8 КЛАСС
https://urok.1sept.ru/articles/582818
http://alfusja-bahova.ucoz.ru/load/7_klass/4-3-2
https://www.mathedu.ru/text/bunimovich_bulychev_osnovy_statistiki_i_veroyatnost_5- 11_2008/p0/
https://education.yandex.ru/
https://uchi.ru/
https://www.yaklass.ru/
https://math-oge.sdamgia.ru/
https://edu.skysmart.ru/
https://resh.edu.ru
ЦОСМояШкола (myschool.edu.ru)